教师资格高中数学真题及答案解析（2021上半年）
一、单项选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1.在空间直角坐标系下，直线
与平面
的位置关系是（ ）。
A、相交且垂直
B、相交不垂直
C、平行
D、直线在平面上
2.使得函数
一致连续的
取值范围是（
）。
A、
B、
C、
D、
3.方程
的整数解的个数是（
）。
A、0.B、1.C、2.D、3.4.设函数
在
的自变量的改变量为
，相应的函数改变量为
，
表示的高阶无穷小。若函数在可微，则下列表述不正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
5.抛掷两粒正方体骰子（每个面上的点数分别为1，2，…，6），假定每个面朝上的可能性相同，观察向上的点数，则点数之和等于5的概率为（ ）。
A、15/36
B、1/9
C、1/12
D、1/18
6.对于
矩阵
，存在
矩阵
，使得
成立的充要条件是矩阵的秩
满足（
）。
A、
B、
C、
D、
7.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中明确提出的数学核心素养不包括（ ）。
A、数据分析
B、直观想象
C、数学抽象
D、合情推理
8.下列函数：
，
，
，
其中初等函数的个数是（
）。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、简答题。本大题共5小题，每小题7分，共35分
9.已知三维空间中的两点，
，其距离为
，求到，两点距离之和等于
的点围成的立体图形的体积。（7分）
10.设顾客在某银行窗口等待服务的时间
的概率密度为
，用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值，若顾客等待时间不超过5min，则评价值为y=1；否则，评价值为y=-1，即
（1）求X的分布函数；（4分）
（2）求Y的分布律。（3分）
11.已知方程组
有唯一解当且仅当行列式不等于零。请回答下列问题：
（1）行列式②的几何意义是什么？（3分）
（2）上述结论的几何意义是什么？（4分）
12.数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考、深入理解问题，教师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教学方式可称之为“课堂留白”，请谈谈课堂留白的必要性及其意义。（7分）
13.给出指数函数模型的两个实际背景，分别写出其对应的函数解析式，并简述指数函数模型的特点。（7分）
三、解答题。本大题1小题，共10分。
14.已知非齐次线性方程组
（1）a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2？（5分）
（2）对于（1）中确定的
值，求该非齐次线性方程组的通解。（5分）
四、论述题。本大题1小题，共15分。
15.数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力，学生的数学运算能力具体表现为哪些方面？请以整式运算为例予以说明。（15分）
五、案例分析题。本大题共1题，共20分。
（一）
案例：在学习了“基本不等式”后,教师要求学生解决如下问题：设x,y均为正数，且满足
，求
的最小值。
一位学生给出的解法如下：
因为
均为正数,所以
， ①
由，得：
②
由②得，
③
结合①③得，
，
从而的最小值为
。
16.（1）指出上述解答的错误之处，分析错误原因，并给出正确解法；
（2）简述求二元函数最值的一般解法有哪些。
六、教学设计题。本大题共1题，共30分。
（二）
“等比数列前n项和公式”是普通高中数学教学的重要内容，请完成下列任务。
17.（1）设计一组问题，说明学习“等比数列前n项和公式”的重要性；（10分）
（2）写出等比数列前n项和公式，并给出两种不同的推导方法；（10分）
（3）针对（2）中的一种推导方法写出教学过程。（10分）
注：篇幅有限，答案及解析请下载试卷后查看。